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化归的思想方法
——数学思想和方法
化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行 直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的 解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为 简，化曲为直。
在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，教师应重视通过这些内容
的教学，让学生初 步学会化归的思想方法。现举例如下：
例1.计算1/2+1/3。（五年制小学数学第八册第96页例1，原是应用题）
学生刚开始学习异分母分数加法，怎样求出它们的和，是一个所要解决的未知问题，为
了解决这个问题， 必须把它化归为学生能解决的已知问题，即通过通分，把异分母分数加
法化为同分母分数加法，使之达到原问 题的解决。即：
┌─────────┐（化归 ┌──────────┐
│ 1/2÷1/3=? │ ——→ │ 3/6-2/6=? │
└─────────┘ └──────────┘
┌─────────┐ ┌──────────┐
│ 1/2÷1/3=5/6 │ ←—— │ 3/6÷2/6=5/6 │
└─────────┘ └──────────┘
例2 怎样计算圆的面积呢？（五年制小学数学第十册第7页）
这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似
长方形，从而推导 出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化
归为直线形的过程。
┌─────────┐（化归） ┌──────────┐
│求圆面积S[,圆] │———→ │ 求长方形面积S[,长] │
│ │（剪拼） │ │
└─────────┘ └──────────┘
┌──────────┐ ┌──────────┐
│S[,圆]＝πr×r │ ←—— │S[,长]＝长×宽 │
│ ＝πr[2,] │ │ ↓ ↓ │
└──────────┘ │ c/2 r │
└──────────┘
从以上两例看出，利用化归思想解决数学问题的过程，可以以下图来表示：
┌───────────┐（化归） ┌──────────┐
│所要解决的问题 │———→ │ 已经解决的问题 │
└───────────┘ └──────────┘
┌───────────┐ ┌──────────┐
│ 原问题的解决 │ ←——— │ 问题的解决 │
└───────────┘ └──────────┘
数学思想和数学方法是密不可分的。化归思想是化归方法的理论根据，化归方法是化归
思想的具体实施。 在小学数学教学中有多种化归方法。现举下面几种常用的方法：
1.分割法。这是通过对未知成分进行分割，以实现由未知向已知化归的一种方法。
例：计算右面图形的面积。（五年制小学数学第七册第115页例4）
（附图 {图}）
这个图形是任意五边形，无法直接计算它的面积，可以把它分割成一个平行四边形和一
个梯形，并分别计 算出面积，再求两个图形面积的和，就求出了这个五边形的面积。
2.叠加法。这种方法是为了解决一个普遍性问题或求得一个适合各种情况的共同规律，
必须从各个具体问 题或各种具体情况中找出规律，然后得到共同规律，以实现由一般到特
殊的化归，求得问题的解决。
例：怎样计算三角形面积？
三角形有各种形状，如果能找到各种形状三角形的面积计算公式，就可以推导出一般三
角形的面积计算公 式。教学时可以引导学生用已掌握的长方形、正方形、平行四边形的面
积计算公式推导出三角形面积公式（见 上图）
（附图 {图}）
3.交会法。这种方法是先分别求得满足所求问题的各个条件的解集，进而求得解集的交
集（公共解），从 而使问题得到解决。
例：一路公共汽车每隔4分钟开出一辆；二路公共汽车每隔6分钟开出一辆；三路公共
汽车每隔8分钟开出一 辆；当第一次三条线路的公共汽车同时开出后，至少隔多少分钟三
条线路的公共汽车又同时开出？
这是一道思考题，学生较难理解“用求它们的最小公倍数”来解答，如果用交会法就比
较容易理解。解法 是：
┌──────┬───────────────────┐
│ 分共汽车 │ 各次开出时间（分） │
├──────┼───────────────────│
│ 一 路 │4 8 12 16 20 24 28 32 36 40……│
│ │ │
│ 二 路 │ 6 12 18 24 30 36 42 …… │
│ │ │
│ 三 路 │ 8 16 24 32 40 …… │
│ │ │
└──────┴───────────────────┘
就是至少隔24分钟，三条线路的公共汽车又同时开出。
4.局部变动法。这种方法适用于有多个变量的问题，运用此法求解时，可以先只把一个
变量看作为变量， 而把其他所有变量暂时看作不变量，于是单独研究这一变量的变化结果；
接着又单独研究另一个变量的变化结 果，而把其他所有变量暂时看作不变量。这样下去，
以实现由整体向局部的化归，从而求得问题的解决。
例：一个林场用喷雾器给树喷药，2台喷雾器4小时喷了100棵。照这样计算，5台喷
雾器6小时可以喷多少棵 ？（五年制小学数学第七册第79页例5）
此题的解法是先把时间看作不变量，求出每台喷雾器4小时喷了多少棵(100÷2)；再把
台数看作不变量，求 出每台喷雾器每小时喷了多少棵(100÷2÷4)；然后求出5台喷雾器每
小时可以喷多少棵(100÷2÷4×5)；最后 求出5台喷雾器6小时可以喷多少棵(100÷2÷4
×5×6)。这样通过局部变动的方法，使问题得到解决。
5.映射法。此法是指在两类数学对象之间建立某种对应关系，通过映射将原来的问题化
归为新问题，在求 得新问题的同时，也就求得原问题的解。
例：一条水渠，横截面是一个梯形，上口宽2.4米，下底宽1米，水渠中的水深1.2米。
如果水流的速度是每 分钟5米，那么1 小时流过的水有多少立方米？
解答此题要学生在理解水渠内的水流1小时，就是流了300(5×60)米的基础上，求出1
小时的流水量。这就 要把求流水量的问题，映射为一个求横截面是梯形的直棱柱的问题，
这个直棱柱的体积是(300×(2.4+1)×1.2 /2=)612立方米，即1小时流过的水有612立方米。
6.变形法。这种方法是适用于对所求问题无法直接求得，必须通过对所求问题进行变形，
使不可求问题变 为可求，以实现由未知向已知的化归，达到问题的解决。
例：一个圆柱形水桶，底面半径为2分米，桶内水深3分米。把一块不规则形的铁块放
进桶内水中后，水面 上升到3.5分米。这块铁块的体积是多少立方分米？
这道题中的铁块是不规则形，题中没有告知铁块的其他已知条件，所以不能直接求出它
的体积，必须通过 等积变形，把铁块的体积化归为桶内水上升的体积，求得与水上升等高
的圆柱体积：π×2(2，)×(3.5－3)=6 .28（立方分米），也就求得了铁块的体积为6.28立方
分米。
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