学生应学什么样的数学

从整体上把握小学数学，着眼点很多。要想理出头绪、抓住重点，“放眼长远、注重长效”最重要。

　　放眼长远是核心

　　长远是就目标而言。无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将发挥重要作用。小学数学课程虽然与高考、就业一类的目标相距尚远，但却是整个基础教育数学课程最重要的部分。因此，小学数学教育应当具有立足长远、放眼长远的功能。

　　然而，现实情况不容乐观。应试教育的负面作用挥之不去，以缺少节制的“又对、又快、又准”为标志的评价体系，仍在压抑着学生本应生机勃勃的活力。数学多半只在考试中露峥嵘，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便会就此再见。这样的数学谈何长远？

　　毫无疑问，数学大有用场。但数学教育有没有长远眼光将取决于：我们是不是为孩子提供了培育兴趣、应用、应变、自信、求实、责任、想象和创造的环境。我们是不是摆脱了题型教育、考试教育的束缚，是不是给过孩子自己足够的空间，让他们能够独立地去想一想、试一试，而不是完全按照老师的理解，或是书本上的某个模式去照抄照搬。这些都关乎学生“终身学习的愿望和能力”。

　　数学教育是数学的教育，离不开作为科学的数学。不少前辈一再强调，学数学就要坐得住冷板凳，就要经得起枯燥和抽象的考验。这对专业数学工作者毋庸置疑，但将这样的主张贯之于小学则基本是谬误。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。

　　注重长效是关键

　　小学数学的长远目标能否落实，关键是要为长效提供支撑。

　　有效教学是小学数学教育研究特别热衷的课题。有效教学指教学的结果与预期的教学目标匹配程度高。需要注意的是，“有效”有长、短之分。简单地说，管长远、能一生受用的效果就是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依时间考量，长效要长期积累，难于一蹴而就；短效可立竿见影，易在一节课内形成。同时，眼前和长远相互依托，缺一不可。

　　那短效与长效之间的关系是怎样的呢？一方面，没有一次次短效的磨炼和积累，长效难以形成；另一方面，某些需要通过高强度、高密度训练才能记住并掌握的定义、定理、公式、算法，注定在人们心里留存的时间不会太久。白天学过的内容，晚上没带书可能就想不起来。然而，探索、发现这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀，运用这些定义、定理、公式和算法解决实际问题的经验和体会倒可能会长远留存。这样的经历多了，积累也就多了，不经意间，往往形成了一些相对稳定的与数学有关的见解，或者说是思路。这些都能长久地驻留在学生心中，并能在一生的学习、生活和职业生涯中派上用场，成为个人发展的重要支撑点。因此，漠视“探索发现那些定义、定理、公式和算法的过程”的数学教学，收获的多半是短效，而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的。

　　因此，短效虽然易得，但长效更是关键，短效要为长效服务，要以长效为目标。一方面把“过程与方法”、“情感、态度与价值观”实实在在地纳入有效教学的视野。同时，对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特征的教学策略要有个清醒的认识。

　　练就注重长效的“独门功夫”

　　举“测量”为例。当学生认识了角之后，面对形形色色、五花八门的角，比较大小的问题随之浮出水面，测量成为定量认识角的主题，包括单位和实测两层含义。一是“单位”，也就是大家都认可的度量单位。小学阶段“单位”的重心在理解和具体感受单位的实际意义，像掂一掂500克一袋的盐、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。这些看上去没什么“数学味儿”的举动，都是感受和理解单位时不可或缺的尝试。更重要的是，单位本身是规定的结果。公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径，长期摸索之后形成的共识，是人类的共同语言。对学生来说，这里有很大的讨论、活动和探索空间。在教学上下点功夫，能帮助学生认识单位的标准作用和平台作用，懂得个别和一般的关系，知道如何在估计与精确之间作出选择，逐步认识到数学为什么需要抽象，等等，而这些都有助于学生接近和发现数学的本质，都与长效联系在一起。二是“量”，即如何实测的问题。教学的重心应当从学生自己的经验出发，从“真刀真枪”的问题开始，通过鼓励学生使用自创的工具和单位，逐步导向规范的工具和单位，引导学生多角度摸索测量的方法，逐步从不那么正规的测量单位和方法一步步接近直至能够达到科学的测量。测量课应当是用一连串的“为什么”串起来的“发现”课，每个结论的得出都应当伴随着学生自己的发现、归纳与整理。学生不仅要知道如何量，还要知道量的方法从哪里来，知道书本上的测量对象和生活中的测量对象的关系，知道测量的意义。

　　如果小学阶段仅仅把测量处理成照本宣科的技能教学，只是采取多快好省、照抄照搬、纸上谈兵的方式灌输和训练，就可能浪费了这一题材的教育价值。如果因为测量不是考试中的重头戏而在教学上敷衍了事，结果就更可怕。学生对数学越来越明显地敬而远之，学习数学的目的越来越趋于实际，多半与此有关。

　　小学阶段的测量，不是单纯的技能培养与训练，而是一块为学生探索与发现准备的沃土。它提供给学生通过自己的眼和手去发现与认识世界的机会，它能自然地沟通过程与结果之间的联系，能把学生探索的目光从书本、教室引向生活、社会，能为学生提供实实在在的动手机会，让他们“真刀真枪”地解决几个真正的问题。不仅是测量，小学数学课程中的许多技能，多半会随着儿童的成长淡淡隐去，而伴随着一连串“为什么”发现的规律、道理和方法倒有可能长久留存，成为伴随学生一生的本领。

　　放眼长远、注重长效能否在教学中得到体现，关系到新课程推进的质量。当前数学教学中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是该适可而止的，哪些是该着力推进的，这一切都将建基于教师的见识和视野，决定着新课程的主张能否践行。

教科书上和教师教学中呈现的数学，以至社会舆论传播的数学，往往给人以抽象、晦涩、深奥的灰色形象和负面记忆。新课程的实施似乎使这种态势有所改变，但另一番景象也许更令人担忧：在新颖奇特的“问题情境”、百媚千红的“生活现实”、声色并茂的“多媒体辅助”背后，更多的是数学本质的遗失，是数学素养的走样，是数学文化品格的缺位。

　　小学数学教育的原点——数学的文化品格

　　尽管数学具有得天独厚的工具品格——数学的知识和方法渗透并应用于自然科学和社会科学的许多领域，但数学更散发着一种耐人寻味的文化品格。

　　数学的文化品格是个体以“数学化”的观念和数学创新意识为核心，自觉地求真、尚善、创美的一种文化精神。它具体表现为数学活动中的崇高信念、审美直觉、深邃洞察力、理性思维、高尚情感等精神特质。对数学教育而言，数学的文化品格是比数学的工具品格更上位的价值追求，也是数学教育的原点。

　　小学数学教育的逻辑起点——数学文化品格的启蒙

　　为让儿童学习终身受益的数学，小学数学教育的第一意蕴应该回归原点——对儿童进行数学文化品格的启蒙。

　　数学文化品格首先是对数学的好奇心、强烈的数学学习兴趣和牢固的数学信念，这是学习数学和创造数学的原动力。数学的文化品格也是一种不断生成、不断累积并富有持久生机的默会知识。对儿童的一生来说，学过的数学知识也许会渐渐淡忘，但数学的文化品格却会以其看不见的神奇力量默默地伴随他们一生。数学是不断累积的科学，小学生学习的数学几乎是数学文化长河的源头，富含最原生态的数学文化品格。

　　小学数学教育的逻辑框架——用数学思想来统领教学

　　数学思想是数学家解决数学问题的基本观点和根本想法，是活生生的数学灵魂。数学思想对数学所有知识和方法具有统摄性，而每一种数学文化品格都可以通过数学知识和数学思想来表征。

　　小学数学课程目标中所涉及的诸如数感、符号意识、运算能力、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、综合与实践能力等，对这些或表现为一种知识或表现为一种能力的内容的学习，都有相应的数学思想来统领。以数学思想统摄小学数学教育，不仅可以积累儿童的数学知识和数学活动经验，还能够有效提升儿童的数学创造能力，从而实现统领数学知识的学习和塑造数学文化品格的双效功能。

　　数学思想统摄的逻辑路径——数学家精神还原

　　突出数学思想在小学数学教育中的统摄地位，也就是将真正的数学思想真实地呈现给儿童，需要为数学思想找到得以有效展开的渠道或载体。其中，一个有效的逻辑路径就是对数学家的精神进行还原，即追寻数学家的精神踪迹，让儿童真正经历数学化和数学再创造的过程。

　　数学史中有一个脍炙人口的故事。高斯在少年时做一道算术题：1+2+3+4+……+97+98+99+100=？高斯迅速算出了正确结果等于5050。相信没有哪位小学数学教师不向学生讲这个故事。那么，我们该如何向学生讲这个故事？

　　首先，模拟还原高斯的思维历程：不能直接一个个相加求和吧？这太繁琐了。老师也不是想让我们这样算吧？那么，有没有简便算法呢？一定有简便算法！这些数字是否有特征？正看，后一个数都比前一个数多1。逆看，前一个数都比后一个数少1。如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。这样共有50组：1+100=2+99=3+98=4+97=5+96=……=50+51=101。所以，总和就应该是：101×50=5050。

　　其次，解读高斯在做这道题时所体现的数学文化品格。从数学算理上分析，体现了高斯精妙的运算技巧：创造性地利用加法交换律和结合律，实现加法向乘法转化。从思维品质上分析，体现了高斯精妙的数学思维：思维的变通性——追求算法简单；思维的直觉性——数字内在和谐；思维的概括性——寻找普遍规律。进而，从数学的观念和意识上解读，这里蕴含了高斯对数学的序的概念以及对称与守恒特征的一种审美直觉和深刻理解，也反映出高斯面对看似复杂繁琐的数学问题所表现的坚定信念和创造欲望。

　　通过对高斯的数学文化品格进行还原，儿童不仅可以完整而深刻地理解这个问题的数学内涵——知识、思想、方法，而且也能充分领会数学的文化价值——信念、兴趣、情感、审美等，从而获得数学文化品格的启蒙与塑造。

　　（作者为中央民族大学教授，《义务教育数学课程标准》研制组负责人之一

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