从经验数学到学科数学

　　厘米是小学数学学习的第一个计量单位。因此，在学习厘米的过程中，小学生会有一些十分有趣的表现，这些表现可以帮助我们增强对小学生数学学习的理解。

　　[课例片断1]

　　教师板书：张三比李四长____

　　师（请一高一矮两个学生来到黑板前）：同学们，请大家完成一道填空题，要求不重复别人的回答。

　　教师根据学生回答，整理如下：张三比李四长——很多/一些/半个头/10厘米/2米。

　　师：同学们讲了这么多不同的答案，你最喜欢哪一个答案，为什么？

　　生（回答有一定代表性）：喜欢“半个头”，因为它能让我们知道长了多少，“一些”、“很多”就不知道到底有多长，“厘米”和“米”没学过。

　　[解读]经验的呈现。一些、半个头、10厘米一年级学生学习单位的认识基础，是经验层面的描述用语。然而，这些用语在生活中的使用频率是不同的，大致可以描述为以下状态：一些、半个头等描述是具体的，是小学生灵活运用的，而厘米、米的描述多半是从其他渠道听来的。小学生知道厘米、米可以用来描述长度差别，但他们的脑海中却往往缺乏具体表象。但不管怎样，对于小学生来说，厘米、米已经进入了经验中，有的学生还知道千米、纳米、微米等，但这种知道是笼统的、模糊的。

　　经验的生长。一些、半个头、10厘米，这些不同类的描述放在一起，通过“你喜欢哪种说法”，促使小学生去体会每一种说法之间的差别，从而形成以下认知：半个头比一些好，因为半个头的长度大致明白，而一些就不太明确。头是比较具体了，可是头也有长短、大小，有没有标准的头？厘米是什么？厘米是标准的头吗？

　　以上内容的认知关键点有两个：一是学生感性地认识到了比较物的意义，二是学生形成了学习的需要，认识了单位这个标准比较物，从而完成了从无比较物到有比较物，再到标准比较物的认知过程。

　　[课例片断2]

　　师：同学们，你们尺子上的1厘米与其他同学尺子上的1厘米一样长吗？

　　生：不一样。

　　师：为什么？

　　生：我的尺子6厘米，同学的尺子11厘米。

　　师：比比看，两把尺子放一起，比一比，1厘米一样长吗？

　　生：一样长。

　　师（拿出米尺）：同学们，你们尺子上的1厘米和老师尺上的1厘米一样长吗？

　　生：不一样长。

　　师：为什么？

　　生：因为您的尺子那么长，所以您的1厘米就有这么长（比划约5厘米）。

　　师：看看，老师这把尺子一共有100厘米。我们来比比看（投影），同学们尺子上的1厘米和老师的1厘米一样长吗？

　　生：一样长。

　　师：老师想考考大家，咱们金华的1厘米和北京的1厘米一样长吗？

　　生：不一样长，因为北京比金华大。

　　生：一样长。因为北京的表弟跟我买了一样的尺子，既然尺子一样，1厘米肯定一样。

　　[解读]小学生对单位的统一性理解基于两个经验：一是正面的经验。外地的小朋友使用的尺子跟我们的一样，所以1厘米应该一样。另一个是有干扰的经验，小树长成大树了，小树上的树叶也长大了，大树的叶子比小树的叶子大。孩子长大了，孩子的手变大了，孩子的手变成大人的手了。所以，当6厘米的尺子变成了11厘米的尺子时，它身上的1厘米当然也变大了。北京比金华大，整体变大，部分也当然变大，是一种具有比例意义的长大。显然，这种经验，在教学中屡次被教师修正。学生们在尺子的对比中发现：无论尺子怎么变长，1厘米始终是不变的。这就是数学上的“单位”有别于有机体的部分。

　　[课例片断3]

　　师：为什么全世界的1厘米都一样长？

　　生：因为尺子是按照同一个标准造的。

　　生：如果1厘米不一样长，我在金华是120厘米，到北京去就长高了。可是，我不可能长高得那么快呀。

　　[解读]在这个阶段，小学生们要理解的内容是：单位的统一主要是为了方便，为了比较间的相互认同。从认为1厘米不一样长，到认可1厘米一样长，学生已经跳出了自身的成长经验，认可了一种关于单位及单位累积的“积聚”模型。

　　小学生认识厘米，是一次重大的学习成长。他们的每一次成功学习，都是一次感性经验到理性认识的历练，他们的许多错误都有深厚的经验基础，在他们的视界里，一切都是有生命的，包括数学，包括厘米这样的单位。

聚焦小学数学：每道题都是有生命的

　■孙家芳

　　笔者曾经在某练习册上看到过这样一道题：狗、鹅、狮子和大象各一只分别装在同样的四条船上，你能根据每条船吃水的深度说出各条船上装的是什么动物吗？请将动物与对应的情况连线。

　　经过思考，我把它改编成了填空题、选择题、操作题，最后又把它改成了开放题：四个动物，分别坐在四条船上，先猜猜每条船上分别装什么动物，再把每条船装的动物写出来，最后画出2号船。如下图：

　　看着我改编出来的一道道题目，我反复想着：这些题目之间的相同点是什么？不同点是什么？同一个知识点、不同类型的题目所要承载的东西又是什么？忽然，我感觉到每一个题目都是有生命的，每道题目都在用自己所代表的独特思维方式与我们进行对话。

　　然而，给这些题目赋予更强生命力的是我的学生。

　　我把改编后的题目发给学生。全班23个学生，想法各不相同，还有学生质疑“放一只狗或者放一只鸭子，并不能分出船在水中的深浅”。这使我猛然醒悟：数学仅仅是解题吗？我这么长时间思考改编出来的题目在学生的质疑中不堪一击。于是我查找资料、广泛征求意见，把题目作了进一步修改：一堆沙土重6吨，一堆土豆重800千克，一堆棉花重7000千克，一些矿泉水重500千克，它们分别装在四条船上，先猜猜每条船上分别装了什么货物，再把每条船装的货物写出来，最后画出2号船。

　　上课时，有个学生非要到投影仪前表达他的想法，很得意地展示他的作品。如下图：

土豆 棉花 矿泉水 沙土

　　全班学生哄堂大笑。面对这样的情景，我选择了积极引导：“大家在笑什么？请说说你们的想法。”学生们快乐地阐述了自己的想法。

　　“那么，这样做行不行呢？”学生认为这样做不仅行，在数学上就更行了，因为它简捷、准确、精炼。

　　“那这样做好不好呢？”经过讨论，大家得出了共识，这样做在数学上好，但是在实际生活中是不行的。因为每条船都有限载问题，如果这条船限载6吨，就不能装7吨棉花，因为船会沉没；如果限载超过7吨，船就不会沉没。因此，我们要根据实际情况装载货物，要遵守规则。作为一种思维方式，上面那个学生的想法无可非议，但是数学中的“行不行”、“好不好”也要在一定程度上受到实际生活的制约。

　　“怎么做可以避免这种情况的出现？”学生提出标明载重量。讨论中，学生又指出，载重量是生产厂家规定的，是船生产出来时就有的，正规船厂生产出来的船应该在船上标明载重量。

　　“生活中还有哪些类似的情况？”……

　　至此，这道题所承载的已经不是一道题的功能了，它富有生命活力，给学生以启迪。读懂题目的过程，其实也是读懂题目思维的过程。和不会说话的题目打交道，挖掘每道题的生命力，更需要我们有宁静的心、思考的脑、探究的力。

数学会给孩子们留下什么

朱德江

除了知识和技能，数学学习还能给孩子留下些其他的东西吗？

　　日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：在学校学的数学知识，毕业后没什么机会可用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，作为学生数学学习初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的知识教学，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。

　　留下意识。数学意识是指遇到问题能够自觉地从数学的角度进行观察和思考，能用数学去观察、解释、表示事物的数量关系和空间形式，形成一种数学化的思维习惯。举一个例子，学生会正确计算48÷4，说明掌握了除法的有关知识和技能；学生会用除法正确解答“有48个苹果，平均每人4个苹果，可以分给多少人”，说明学生具有一定的分析问题和解决问题的能力；而在体育课上，48位同学进行跳长绳活动，学生看到老师一共准备了四根长绳，他想到48÷4这个算式，说明学生不仅掌握了除法的基本知识和技能，而且数学意识也得到了较好的发展。小学生的数学意识主要包括数意识、符号意识、统计意识、数学应用意识等。留下意识，就是让学生拥有数学眼光，具体地说，就是具有对客观世界中的数量关系和空间形式的感受力，能自觉地从数学的视角观察事物，善于在生活与数学间建立联系，面临问题时能较快地尝试用数学方法解决问题。如，在“校门口早、中、晚3个时间段中，哪个时间段汽车流量最大”的统计活动中，教师把学生分成7个组，从星期一到星期日，每天一组，让学生自己设计并进行统计，再用一定的方式表达出当天3个时间段的车流量情况。在这样的统计活动中，学生不仅掌握了统计的一些基本方法，统计意识也初步得到发展。

　　留下思想。数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性把握。一般认为，归纳和演绎是两种基本的数学思想，而分类、对应、化归、转化、类比等是更具体化的数学思想。学生数学思想的形成要经历从感性认识到感悟、理解的过程。留下思想，指学生在学习数学的过程中逐渐由感性到感悟，直至理解，内化为逻辑的数学思想。如学习“乘法分配律”时，学生经历“生活原型——提出猜想——举例验证——归纳总结”的过程，学生通过大量例子证明猜想的正确性，并归纳得出结论，在理解乘法分配律的同时，又一次积累了“归纳思想”的感性认识。

　　留下经验。我们所说的经验主要指数学活动累积的数学经验，是学习者在参与数学活动的过程中形成和积累的过程性知识，具有动态、隐性和个性化等特点。经验在学生的数学学习过程中有着重要的作用，是学生理解数学知识，形成数学意识和数学思想的基础。没有亲历的数学活动谈不上经验，留下经验，就要倡导学生“做数学”，让学生充分经历直观感知、观察发现、实践探索、空间想象、归纳类比、猜测验证、演绎证明等数学活动的过程。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”例如，在学习“长方体的认识”时，教师鼓励学生用多种方式探索长方体的特征，如把长方体剪开，然后用重叠等方法比较面的特点；用小棒或塑料吸管沿长方体的棱比一比、剪一剪，观察探索棱的特点；用尺量等方式研究棱的特点。学生在充分的数学活动中，不仅掌握了“长方体有6个面、12条棱、8个顶点，长方体相对的面相等”等数学知识，而且积累了从顶点、棱、面等不同角度研究立体图形的数学活动经验。

　　留下习惯。好的习惯会让人受益终身。叶圣陶先生说：“教育是什么，往单方面讲，只需一句话，就是要培养良好的习惯。”数学学习是形成良好学习习惯的重要途径。在数学学习中，除了培养学生养成预习、听课、作业、复习、质疑等常规的习惯外，更要注重培养学生条理思考、言出有据、三思而后行、画图分析等体现数学学科特点的习惯。如学生在理解了“等底等高的两个三角形面积相等”后，引导学生思考这个结论如果倒过来说是否正确。在这样的思辨与讨论中，逐步养成学生“言出有据”等习惯。再如，在解决问题中要培养学生形成画图的习惯，善于利用数形结合帮助分析和解决问题。

　　留下快乐。童年是快乐的，数学学习生活也应是快乐的。真正使数学学习成为一种乐趣、一种享受，这一点在小学显得尤为重要。数学学习的快乐来自很多方面，新颖的教学情境，有趣的数学活动，数学思维的挑战、探索等，都能给孩子带来独特的快乐体验。

追寻积极向上的数学教学目标

唐彩斌

　　数学是义务教育阶段的基础学科。之所以是基础，一方面是因为所选内容是每一个人在社会生活中必备的基本知识和基本技能；另一方面，还因为所学内容是后续学习的必要基础。然而实际上，在数学学习的过程中存在着大量的“解题”，本该充满基础性的数学学习往往被淹没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系？如何全面考查学生学习数学的目标价值取向呢？

　　解题不可见题发挥

　　“解题”这个概念本身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要组成部分与重要途径。我们不必讨论数学教学要不要解题，要解多少题，而是要研讨解什么样的题，如果都是“好”题，自然非常必要。如果再追问怎样的题才算好题，那更是需要研讨的了。数学学习与解题的关系显然不能一概而论，需要慎重分析。一味摒弃解题，可能导致学生数学水平的降低；一味主张解题，进行题海战术，无疑会加重学生的负担。“解题”这样的传统话题值得深入细致研究，研究“解题”是减轻学生学习负担的重要途径。我们不能以减轻学生负担为名义对数学题妄加指责，而使数学学习趋向另一个极端。记得曾有多位文化名人对数学题“有一个水池，单开进水管，注满水池要5小时，单开出水管放完一池水要8小时，如果同时开两个水管，几小时能注满水池？”大加指责。其实这种批评是值得商榷的，因为这样的数学模型在现实生活中比比皆是。农田的灌溉，经过a田灌溉b田，影院进场和出场同时进行，飞行工具能源的耗费与输入等，都是这种情境。不可否认，适当的解题是数学学习不可或缺的组成部分，尤其是那些富有现实性、趣味性、基础性、挑战性的问题理应成为学习数学的主要内容。但让人遗憾的是，日常教学中可能绝大多数的“解题”还是相当的程式化、机械化，难免让学生觉得枯燥乏味。

　　数学学习要注重提升素养

　　承认“解题”对数学学习的作用，并不是无限制地扩大它的价值，毕竟解题只是数学学习的途径与手段，绝不是数学学习的终极目标。在新课程背景下，许多学者呼吁从关注“双基”到“四基”，数学学习的目标在于掌握必需的基础知识和基本技能，积累丰富的活动经验，体悟数学的基本思想。数学学习不只是解题，在学习的过程中还将学会观察，学会思考，学会表达，学会书写，学会合作。著名特级教师张天孝研究小学数学教学50年，他有一个治学心得是：“让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。”这正是对数学学习目标的精辟提升。

　　如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。美国统计学家戴维·S·穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。

　　数学地思考，是数学学习的更高目标。数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。看到下面的图1时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。

　　数学要促进人的全面发展

　　数学教学不只是为了数学。作为义务教育阶段的基础学科，数学学习的时间也是学生全面发展的时间。按每天1节课的时间计算，学生接近1/6的在校时间是在学习数学中度过的。这就要求数学教学不能仅限于教学数学，应该真正为人的长远发展服务。怎样与人合作，怎样在小组内表达自己的见解，怎样研究问题，学会分类，学会从多个现象中归纳出特点，学会从一个事件类比到另一个事件。学会学习，学会思考，学会与人相处，这些都是数学教学的目标所在。

　　把德育蕴含在数学学习中，其实大有文章可做。以下面的运行图为例。

　　看完图，学生一般会作出这样的评价：阿明很贪玩，在商店买零食，到游戏机房玩游戏机，到邻居家逗留，最后才回家；阿芳很乖，放学就回家了；阿强丢三落四，回家后发现作业本没带又回去拿了。这时，我总讲八个字：仁者见仁，智者见智。学生的思维马上发散了：阿明到商店买学习用品，发现游戏机房有同学在，他过去劝阻，邻居家有小妹妹或者老奶奶要照顾，阿明很懂事；阿强回家后下雨了，想起学校的教室窗户没有关又回去了，是个爱集体的好学生。在同一节课上，1分钟前后有截然不同的表达。这种表达已经不再是对数学信息的解读。为什么解读不能先从好的角度开始呢？同一个现象，从不同的角度看，所感悟到的是不一样的。乐观、积极、向上的情感态度，看待事物的多元视角是教育的本性诉求，数学教学也是如此。

　　数学教学的评价需多元化

　　数学教学不只是解题，也不只是教学数学。因此在评价数学学习目标的达成时，显然不能用简单的“会不会”来评价。在学习的过程中，教师还要考虑是否渗透了数学的方法，是否在学习的过程营造了学生之间良好的合作氛围，是否促成了学生学习数学的积极情感、态度，是否为后续的学习积累了丰富的活动经验，是否为形成数学的基本思想积存了感悟。例如，“乘法的认识”一节，当面对一个情境列出很多不同的连加算式时，教师可以引导学生把算式分为两类，一类是算式中的数全相同，另一类是算式中的数不全相同。有了这样的分类，再引导学生把算式中数全相同的一类写成乘法的形式。在这个过程中，数学学习不再只是为了学会乘法算式怎么写、怎么读，而是让学生从不同的算式中通过自主分类，概括出乘法算式的意义。同时，在分类的过程中，如果把所有的算式分为两类，一类是“数全相同”，另一类是“数不全相同”，可以做到不重不漏。对于这个学习过程来说，教学的价值并非仅仅为了认识乘法算式，而是学会数学的基本方法——分类，从而归纳同类算式的特点，然后用语言概括出乘法的意义。再比如“平均数”的教学，在联系现实生活情境时，面对一个公司平均工资为1000元和另一个公司工资众数为1000元的两个公司，作为一个刚毕业的大学生该如何择业？一方面可以考查学生对平均数的理解，理解平均数并不是代表这个公司的每个人的工资都是这个数；同时，也可以反映学生出对自身素质的定位和面对生活的态度。

　　全面的、科学的数学学习评价，应该不限于对数学学习内容的评价，还应当关注学生的学习是否愉快，是否对内容有兴趣，是否对数学产生了积极的情感。大而言之，在数学学习的过程中，还渗透了一种潜在的理性精神和积极的人生价值观，这或许是数学学习真正“以人为本”的体现。

　　（作者为浙江省杭州市现代小学数学教育研究中心主任）

让儿童享受"好吃又有营养"的数学

吴正宪

　　儿童学习数学时面临的最大问题在于，他们感受不到数学学习的快乐。我们常常以成人的眼光审视严谨、系统的数学，并以自己多年来习惯了的方式将数学“成人化”地呈现在孩子们的面前，对孩子的奇思妙想、异想天开并不在意，还忽视了儿童的心理特点和已有的数学活动经验。

　　让小学生学有趣的数学

　　小学生的年龄特点和心理特征决定了他们的学习行为要由兴趣主导。虽然数学常常以抽象概括的方式进行形式化的表达，但小学数学教学不应该照本宣科，不应该是仅就“学术状态”的数学学习，而应该是“教育状态”下的数学学习。应该让抽象的数学变得鲜活有趣、充满活力。

　　让小学生学与生活联系的数学

　　数学知识对小学生来说，在一定程度上是一种“旧知识”。小学生在经历的生活中已经有过数学应用的体验，数学学习是对有关数学现象的重新认识，是在原有认知基础上的总结与升华。

　　教学中，教师要善于创造与生活实际有联系的数学情境。例如，学生在学习“年、月、日”之前，就已经知道“我今年过生日到明年过生日正好是一年”、“爸爸这个月领工资到下个月再领工资正好是一个月”。这是多好的解读！他们把十分抽象的时间观念，通过自己的生活经验“物化”出来。上学之前的活动与经历使学生获得了数量和几何形体最初步的观念，虽然这些概念或观念可能是非正规的、不系统的、不严格的，甚至还可能是错误的，但却为正规学习数学奠定了重要的基础。这些学前积累下来的生活经历，会在小学阶段的数学学习中被“重新解读”。学生以身边熟悉的现实生活为桥梁，逐步学会数学地思考，发现和得出数学的结论。同时，他们还将感受数学知识的产生和发展过程，体验数学在实际生活中的价值，从而更加热爱数学学习。

　　让小学生学能听得懂的数学

　　对于学习者而言，最大的痛苦莫过于“听不懂，学不会，还得被强迫着听，强迫着学”。教师要让小学生能听得懂数学，一是要让数学学习内容贴近儿童实际，让教学方法符合学生的认知规律；二是要把数学变得简单些、容易些、朴实些。简单些，就是用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”。容易些，就是把人为制造的难点降下来，减少整齐划一、千篇一律的统一要求，充分关注学生个性化的学习需求。朴实些，就是不要刻意追求课堂的尽善尽美，鼓励学生用原生态的，甚至是有些粗糙的语言诠释自己对数学意义的理解。

　　让小学生学不太严格的数学

　　“三十六计，背为上计。”一些小学生常常在教师的示意下强记自己不理解的数学概念，这一现象触发了我的思考。我赞成这样的理念，即“严格的不理解，不如不严格的理解”。教师不要急于把严格的数学概念一字不差地呈现给尚未具有严格思维的小学生，不能认为不从严密的概念定义出发就不能有效地进行思考。张奠宙教授就提出“充分运用直觉学习数学，是数学学习，特别是小学数学学习的一条准则。”小学数学不要过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的数学语言尝试诠释对数学意义的真正理解，从而把握住数学的魂。

　　让小学生学动手做的数学

　　实践证明，学生的思维是在有效的数学活动中发生、发展的。学生在亲自参与实践活动中不断地积累活动经验，提升观察、试验、猜测、验证及推理概括的能力，从而理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，以达到发展思维的目的。比如，在学习“三角形内角和”时，先要通过度量不同类型的三角形内角度数，并分别计算出它们的和，初步感知到它们的内角和是180度。在此基础上，用实验的方法加以验证。在具体操作上，可以把一个三角形的三个角剪下来，拼成一个平角来加以验证，也可以通过折一折等实验操作活动，归纳出三角形内角和为180度。动手操作不仅是为了满足好奇心，提高学习兴趣，也可以促进儿童的思维，由感知到表象再到抽象的发展。

　　让小学生学数形结合的数学

　　依据小学生的年龄特点和学习规律，数形结合的数学解读是小学生需要且有效的数学学习策略。数形结合，即引导小学生充分利用直观的“形”把抽象的数学概念、数量关系形象具体地表示出来。通过一些看得见、摸得着的树形图、集合图、线段图等帮助小学生理解数学概念，理清数量关系，使复杂的数学问题直观化。教师特别要鼓励学生用自己创造的图形方法解释数学，用原汁原味的构思、丰富多彩的图画、独特的视角，展示儿童富有创造的思维过程。

SendEmail
Print

相关链接