1．什么是数学能力

究竟什么是数学能力，许多数学家和数学教育学家对此给出过不同的答案。最有影响的是克鲁捷茨基在他的权威著作《中小学数学能力心理学》中从一般能力出发来研究数学能力。他“从两个方面来看待数学能力的概念：（1）看作创造性的能力——科学的数学活动方面的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会作出有价值的贡献。（2）看作一般学习能力——学习数学的能力，迅速而顺利地掌握适当的知识和技能的能力。中学阶段，我们应该培养学生怎样的数学能力呢？无疑首先应该培养学生的“学习数学能力”，因为中学阶段的数学学习毕竟是将来学习数学，运用数学，以及进行数学创新的基础，在以信息和技术为基础的社会里，数据、符号日益成为一种之中要的信息，为了更好的认识客观世界，人们必须学会处理各种信息，尤其是数字信息。收集、整理与分析能力已经成为信息时代每个公民的基本素养的一部分，比如，日常生活中我们经常会听到“估计第三世界人口的年增长率是4%”，“铁道部规定旅客所携带的行李外观大小限于长、宽、高之和不超过160cm”等语言。这实际上就是人们对客观世界中某些现象的描述，其中涉及大量数学事实、各种统计图表、数学符号等信息。因此，现代社会的公民需要对这些纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，这就必须要具有一定的实验观察、信息获取、数据出来、模式识别、抽象概括等能力，并且要能够有效的联系、建立、表达与交流等。也正是基于这一点，我们的传统教学，特别重视数学学习能力的培养，采取的方法是“满堂灌”──让学生多听一点；教出的学生是“记忆型”──学生的大脑都成了知识的仓库。使教育从培养智能退化为技能，甚至本能，使学生成为背题型的“机器人”，与社会对人才的要求背道而驰。如果我们不彻底扭转这种教育倾向，所培养的学生将不能适应市场经济和社会发展的要求。

能力的发展总是与个性积极即与对学习和工作的需要、动机、兴趣、爱好相联系.一个对数学热情迷恋的学生，其数学能力就有可能得到充分的发展.心理学家认为：“学习兴趣是构成学习动机中最现实、最活跃的成分，一个人对其所学的东西产生了浓厚的学习兴趣，便会迸发出惊人的学习热情，而热情是一种魔力，它会创造出奇迹.”因此，激发学生的学习兴趣与热情突出培养学生的创新精神和实践能力是教师的重要任务.

一、??? 在课堂中引入数学的文化素质教育，引起学生对数学的兴趣

数学是一种文化，培养学生的文化修养是对全体学生的要求.我们要揭示数学的文化内涵，开发数学的德育功能..如：《九章算术》是我国东汉初年编定的现有传本的、最古老的中国数学经典著作.书中收集了246个应用问题，共分为九章.方程为其中的一章.我国古代数学家刘徽在注释.《九章算术》时说，“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.” 早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步。”这一科学论断在这100多年的社会发展和科技进步中得到进一步的验证。美国学者道恩斯从浩瀚的书海中选择出16本自然科学和社会科学专著，并定名为“改变世界的书，”其中就有10本直接应用了数学。美国另一位学者在一份报告中又列举了1900—1965年世界范围内社会科学方面的62项重大成就，其中数学化的定量研究就占了2/3。对数学的这些应用，华罗庚教授于1959年5月在《人民日报》上发表的题为《大哉，数学之为用》一文中作了精辟的阐释：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”等各方面，无处没有数学的贡献。 ??? 教学中向学生介绍以上这些内容，其效果应该比介绍某一数学结论重要。我们要使学生对数学有一个较为全面、科学的认识，不仅要认识到数学中有计算，有逻辑，对提高人的逻辑思维、空间想象能力都有好处，而且要认识到数学的产生和发展中有许多非逻辑因素，有美的因素；数学来源于实践，应用于实践；数学与人的生活质量和工作效率息息相关；数学为其他学科的建立和发展提供了条件和基础、方法和思想；数学是人类文化的一个重要组成部份。

二、数学模型与构造及数学思想的教育

“数学建模”作为实施“问题解决”的一种重要方式，也逐渐受到了人们的普遍关注，它对提高学生用数学的意识和能力，对改善学生学习数学的兴趣和数学思维结构，乃至培养创造性思维能力作用是非常重要的。

广义地说，一切数学都是数学模型，实数是时间的模型，微积分是光滑运动的模型，几何学是现实空间的模型.一切数学概念和知识都来源于现实，当然都是数学模型.建立数学模型需要想象力和技巧.正如瞎子摸象一样，我们从一个侧面只能知道问题的一个特征，虽然是真实的反映，却是片面的.只有把各个部分的认识综合起来，构成一个假想模型，然后经受实践检验来判定模型的可信程度.

在数学问题中，可以根据题设条件，给予题中涉及的公式、概念及数学关系赋予恰当的实际意义，构造出数学模型，进而谋求解决题目的途径.因此，这里提出了一个重要的思想方法——“构造”.初等数学领域的“构造法”，常用以下几种：1.“模式”构建..2.公式构造.3.特例构造. 4.方程构造.5.图形构造..6.命题构造. 7.函数构造.

如讲指数函数的概念时，从一个“细胞分裂”的模型导入；讲对数概念时，从“复利问题”的模型引入，讲等差数列前n项和公式时从实例引入，选择适当的问题对其进行整理加工使之变成一个数学建模问题，如讲函数问题时，可举如下问题：

问题1：有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙Ｏ的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长Y和腰长X间的函数式，并求出它的定义域。

问题2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,设本利和为y,存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少？

通过这样的问题，使学生真正理解数学知识，发展数学思维能力和素质，帮助学生树立数学应用意识，运用数学知识解决实际问题。

三、使问题进入数学教学的阵地，培养和发展数学意识。

在社会主义市场经济大潮下，股票、利息、保险、分期付款等经济方面的数学问题已介入人们的日常生活。培养学生的应用意识，提高学生的数学应有能力，也引起教育界人士的广泛重视。 “解决实际问题主要是指解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，以及日常生活和生产中的实际问题；因此，在解决实际问题的过程中，应该使学生受到把实际问题抽象为数学问题的训练，逐步培养他们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识。”逐步培养学生用数学来认识事物，思考问题，解决问题，同时给学生创造更多的机会，使之能够把所学的数学知识、技能、经验用以解决新的或疑难的问题，让学生亲临问题情境，以帮助学生扩大思维空间，提高他们应用数学的意识，增强其解决问题的能力。

2．什么是数学素养
　　数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式,它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有“数学素养”的人在他的认识世界和改造世界的活动中，常常表现出以下特点：
　　１、 在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件；
　　２、 在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑；
　　３、 在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性、混沌等等概念广义化，用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是商品的对偶，效益是公司的泛涵等等。
　　　更通俗地说，数学素养就是数学家的一种职业习惯，“三句话不离本行”，我们希望把我们的专业搞得更好，更精密更严格，有些这种优秀的职业习惯当然是好事。人的所有修养，有意识的修养比无意识地、仅凭自然增长地修养来得快得多。只要有这样强烈的要求、愿望和意识，坚持下去人人都可以形成较高的数学素养。
　　一位名家说：真正的数学家应能把他的东西讲给任何人听得懂。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质，因而掌握这种数学思想总是容易的，这一点在大家学习数学时一定要明确。在现代科学中数学能力、数学思维十分重要，这种能力不是表现在死记硬背，不光表现在计算能力，在计算机时代特别表现在建模能力，建模能力的基础就是数学素养。思想比公式更重要，建模比计算更重要。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学素养的好条件、好方法、好场所。希望同学们消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，增进学好数学的信心，了解更多的现代数学的概念和思想、提高数学悟性和数学意识、培养数学思维的习惯。
　　请注意，我们往往只注意到数学的思想方法中严格推理的一面，它属于“演绎”的范畴，其实，数学修养中也有对偶的一面――“归纳”，称之为“合情推理”或“常识推理”，它要求我们培养和运用灵活、猜想和活跃的思维习惯。
　　下面举一个例子，看看数学素养在其中如何发挥作用。１８世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地。
　　这个问题好像与数学关系不大，它是几何问题，但不是关于长度、角度的欧氏几何。很多人都失败了，欧拉以敏锐的数学家眼光，猜想这个问题可能无解（这是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题，建模如下：见图右，能否从一个点出发不离开纸面地画出所有的连线，使笔仍回到原来出发的地方。
　　以下开始演绎分析，一笔画的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交岔点处，有一条线进就一定有一条线出，故在交岔点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题不可解。欧拉还进一步证明了：一个连通的无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇数次顶点的个数为０或为２。这是他为数学的一个新分枝――图论所作的奠基性工作，后人称此为欧拉定理。
　　这个例子是使用数学思维解决了现实问题，另一个例子“正电子”的发现正好相反，是先有数学解，预言了现实问题。１９２８年英国物理学家狄拉克Ｄｉｒａｃ在研究量子力学时得到了一个描述电子运动的Ｄｉｒａｃ方程，由于开平方，得到了正负两个完全相反的解，也就是说，这个方程除了可以描述已知的带负电的电子的运动，还描述了除了电荷是正的以外，其他结构、性质与电子一样的反粒子的运动。１９３２年物理学家安德森(Ａｎｄｅｒｓｏｎ)在宇宙射线中得到了正电子，并于１９３６年获得诺贝尔物理学奖。我国物理学家赵忠尧１９３０年正在加州理工学院读研究生，他的试验结果一出来，安德森在他的办公室隔壁办公，他受启发，立刻意识到试验结果表明：一种尚未认知的物质出现了，进一步做工作获得成功，赵忠尧与诺贝尔奖擦肩而过。
四、如何提高数学修养
　　要讲这个题目确实很困难，要提高数学素养只有自己去探索、去总结，世界上没有一种万能的学习方法对所有人都适用，可是回避这个问题，又十分遗憾。我们还是用一个折衷的办法：介绍数学中一个人和一件事，相信青年朋友们能从其中得到许多力量和启迪。
　　１、读读欧拉
　　1707年4月15日，欧拉Euler ( 1707-1783) 出生于瑞士，在大学时受到著名教授伯努利及其家族的影响，阅读了不少数学家的原著，17岁获得硕士学位，18岁开始发表数学论文，26岁成为数学教授、科学院院士。
他一生论著数量巨大，涉猎面广，开创性成果多，发表论文和著作５００多篇（部），
　　加上生前未及出版和发表的手稿共886篇（部）之多。在数学的各领域，及物理学、天文学工程学中留下了举不胜数的数学公式、数学定理。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉积分、欧拉微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉刚体运动方程，欧拉流体力学方程等。
　　欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他28岁时，为计算彗星的轨迹，奋战三天三夜，因过度劳累，患了眼疾，使右眼失明，又不顾眼病回到严冷的俄国彼得堡工作，左眼也很快视力减退，他深知自己将会完全失明，没有消沉和倒下，他抓紧时间在黑板上疾书他发现的公式，或口述其内容，让人笔录。双目失明后，他的寝室失火，烧毁了所有的专著和手搞，后来妻子又病故了，他在所有这些不幸面前不仅没有退缩，而是以非凡的毅力继续拼搏，他以罕见的记忆力和心算能力，继续研究，让人笔录，直到生命的最后一刻。在双目失明的17年中，他口授论文达400篇和几本书，包括经典名著《积分学原理》，《代数基础》。
　　欧拉学识渊博品德高尚，非常注重培养与选拔人才，当时19岁的拉格朗日把自己对“等周问题”的研究成果寄给他，他发现其解决问题的方法解题与自己的不同，立即热情的给予赞扬，并决定暂不发表自己的成果，使年轻的拉格朗日先后两次荣获巴黎科学院的科学奖，后来他又推荐30岁的拉格朗日代替自己任科学院物理数学所所长，他的品德赢得了全世界的尊敬。他晚年的时候，全世界的大数学家都尊称他为“我的老师”。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾多次深情地说：“ 读读欧拉，他是大家的老师”，他不愧为“数学家之英雄”，他这种精神境界至今仍是年轻人学习的榜样。
　　2、关于费马（Fermat，1601－1665）大定理的证明
法国业余数学家费马猜想：Xｎ ＋ Yｎ ＝Zｎ，对于大于2的整数，不存在x，y，z的非零整数解。他在一本算术书的页边空白处写着“我对此有一种奇妙的证明，只是此处空白太小写不下”。后人称此为费马大定理，人们曾查遍他的手稿和用过的书籍，始终未能得到这个证明。后来的事实证明，这是难于上青天的事。莱布尼兹、高斯、欧拉、柯西等大数学家都失败了，仅在1909年到1911年这三年间就有一千多篇论文，提出各种证明都因为不严格而否定，几百年来有人废寝忘食，有人神魂颠倒，甚至于有人失败后自杀了。
　　韦尔斯（ Wｉｌeｓ）1953年生于英国剑桥，1977年在剑桥大学获博士学位，1982年成为普林斯顿大学数学教授，他在10岁时就被费马大定理迷住了，立志要证明它。1986年他开始下决心要征服这个难题。当教授必须每年发表论文，否则影响职务和前途，这个难题不知道何时才能征服，是否能成为论文都很难说，他想了个两全之策，他将其它项目中的成果写成几篇论文，留着以后慢慢发表。他深知必须运用最近的数学成果和创造出新的方法才能解决这个问题。为了避免干扰，他闭门谢客，只有妻子知道此事，七年后，他完成了证明的论文。1993年6月21日他应邀在剑桥大学的国际数学会议上宣读论文。当时座无虚席，他的论文朗读了3天，黑板上写了擦，擦了又写，几万名听众急于想听到结果。到6月23日快结束时，他最终在黑板上写出了费马大定理，然后转身过来，谦逊地说，我想就到此为止了，大厅响起热烈的掌声，消息立刻传遍了世界。韦尔斯被“人物”（people）杂志列为与克林顿、黛安娜王妃齐名的本年最有魅力人物。可惜高兴得太早，不久后他自己给数学界同行发了一个电子邮件，信中说到他发现证明中有漏洞，这可不是小事，如果仍旧解决不了，一环扣一环的证明将全部瓦解，七载心血将付诸东流，将不成熟的论文公开发表也是十分难堪的事情。但是他不灰心，在最艰难的日子里，他的好友萨尔纳克（Ｓａｒｎａｋ）不仅鼓励他，并提议他找一位值得依靠的年轻帮手，经过考虑，他邀请他在英国的学生――剑桥大学讲师泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）一起工作，又经过一年的功夫终于把漏洞部分补上了。　　　　 1994年8月国际数学大会在苏黎世又召开大会，他做了最后的报告，人们热烈地鼓掌，肯定了他们部分证明了预备定理的成绩和数论方面的其它成果。又过了2 个月，在1994年9月19日的早晨，他与泰勒讨论问题时，突然有了新的想法，又经过一个月的努力终于取得了完全的证明。1994年10月25日，他们向数学界的朋友发了另一个电子邮件， 由两篇论文组成，第一篇是“模椭圆曲线与费马最后定理”，作者韦尔斯 ，第二篇是“某些Ｈｏｏｋｅ代数环论的性质” 作者是泰勒和韦尔斯 。第一篇长文证明了费马定理，其中关键一步依赖于第二篇短文。
　　这一次人们十分谨慎，直到1998年（四年以后）在柏林举行的国际数学大会上，第一次向45岁上的数学家颁发了一个费尔兹（Fields）特别奖，正式承认他们卓越贡献。证明过程中开辟了好多数学的新领域与使用了很多新的方法，证明了很多新的猜想与得到许多新的定理，为数学的发展，特别是在数论的重要分支——代数数论和环论方面做出了重要贡献，上述前仆后继、艰苦卓绝的证明的现实意义也在于此。

3. 关于数学能力

什么是数学能力？根据目前的研究成果，可以认为是在学习数学知识，掌握数学方法，运用数学技能，解决数学问题的本事，称为数学能力，它是数学素养的重要表现。具体有以下几种说法：

我国传统提法，数学能力包括：逻辑思维能力、基本运算能力、空间想象能力、应用数学知识分析解决实际问题能力及建立数学模型的能力。

美国数学课程标准认为：数学教育的目标是使学生具有以下五点数学素质：

1、懂得数学价值；

2、对自己的数学能力有信心；

3、有解决数学问题的能力；

4、学会数学交流；

5、掌握数学思想方法。

全面提高学生数学能力，在数学教学中体现素质教育，是时代赋予数学老师的基本要求。

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