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数学素养的界定与测评
数学素养是国际学生评价项目2003年的重点测评项目。PISA认为数学素养这一领域不仅要求学生掌握适应未来社会挑战的数学技能，而且要求学生学会分析、推理，在各种情境、领域中，通过提出问题，分析问题和解决问题来有效地传递观点。因此，PISA对数学素养的测评重点与以前的其它测评不同，如第三次国际数学和科学教育研究（IEA/TIMSS），他们的评价结构是基于成员国的国家课程的共同要素而进行，但PISA评估的重点不是学校传统数学课程中的数学知识和技能，而是更多的关注于许多要求具备思维能力、洞察力的不同情况、方法发挥作用的数学知识。
（一）PISA对数学素养的界定
数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学在社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效的运用数学。这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必须的数学能力。
在上述的界定中有以下几个方面需要做进一步的阐述和说明，以便我们更好的理解其内涵。
1．“社会”。它包括自然、社会、个体生活的文化背景。
２．“从事”。它并不仅仅指狭义上的身体的或社会的行为，而是包括传递、联系、评价甚至欣赏陶醉于数学知识。
３．“当前及将来的生活”。它包含有个体的私人生活、职业生活，与朋友、亲友的社会生活，以及作为社区公民的生活。
（二）数学素养测评的内容
基于以上对数学素养的认识与界定，PISA主要从四个领域即数学技能、主要的数学概念、数学课程因素、数学情境中展开。其中，数学技能和主要的数学概念为主要领域，涉及评价的范围和熟练程度；数学课程因素和数学情境则是次要领域，是为了确保测评具有充分的覆盖面以及所选择的评价任务的平衡分布。
１．数学技能。数学技能是指数学的综合能力，它是PISA的数学素养评估框架的第一个主要方面，它包括各种不按等级顺序排列的数学综合能力，当然，这种技能与各级的教育相关。具体而言包含这样几个方面：①数学的思考能力；②进行数学论证的能力；③建立模型的技能；④提出问题并解决问题的能力；⑤表示的能力；⑥使用符号、形式和技术能力；⑦交流观点的能力；⑧使用各种工具、辅助物的能力。
２．主要的数学概念。PISA数学测验的内容覆盖面很广，采用的是综合的评价方式，而不仅仅是测试知识的片段。因此，PISA中的主要的数学概念应是包含有足够多的类型和深度来揭示数学的本质。PISA慎重选择了机会、变化和增长、空间和形式、数量推理、不定性、从属性关系等概念作为其需要评估的主要数学概念。在PISA的第一轮即2000年的评价实施中，由于用于评价数学素养的时间有限，第一轮评价主要集中在变化和增长、空间和形式两个主要概念，这就限制了评估的广度。这在2003年的数学素养评估中得到改善。
３．数学课程因素。PISA的测评重点虽不完全来源于传统的数学课程，但是PISA仍将传统的数学课程内容作为数学素养评估的一小部分，这部分内容主要包含有数字、测量、估计、代数学、函数、几何学、概率、统计学、离散数学等。PISA成员国的数学课程都将包含这些内容，而且，PISA也将设计题目来评价这些内容，并确保其题目与学校数学课程相关题型的分布的均衡。
４．数学情境。PISA强调在各种不同的情境中解答数学问题，运用数学知识。因为，PISA认为数学方法的选择、结果的表示经常取决于问题显现的情境。因此，PISA提出在评估中应提供相应的情境使每个学生参与到数学化过程中，并掌握如何将一个情境中所学到的方法成功地运用于另一个相似的情境中。根据学生与一定情境距离的长短，PISA将评估集中在个人的、教育的、职业的、公共的和科学的五个情境中。虽然PISA强调所使用的情境应具有真实性，但并不要求被评价的学生是这些情境中的成员，如根据当前利率计算银行存款利息。当然，强调情境的真实性并不排除那些重要或有趣的数学情境，如使用数学来解释假定的方案、探索潜在系统或情境是一种对未来有深远影响的方式，则无论其情境是否真实都会被采用。
（三）数学素养的评估结构
１．主要准备考核的相关能力
对于以上数学素养所包含的内容，PISA并不提倡采用逐项分别评价的方式，因为这样可能导致出现“伪任务”和对数学知识进行人为的瓜分，而在现实中，我们解决与数学的相关问题时，经常需要多项能力有时甚至是全部的能力。因此，PISA为了在项目和测验中使数学能力变得有利于控制和具有可操作性，将数学技能分为三个能力等级。
（１）能力等级一：再现、定义、计算。这一等级包括的知识有事例、表示、确定等式、思考数学对象和数学性质、操作程序、运用标准算法和发展专业技能等。它要求学生能运用多种不同方法表达标准的符号、法则，要求学生学会计算。在这一等级中其内容与使用符号、形式和技术能力等有较大的相关性，使用的是典型的标准化评价题型，且多为多重选择题或严格的开放式格式。
（２）能力等级二：为解决问题而建立联系。在这一等级里，要求学生根据不同情境和目标，学会使用不同的表示方法，同时要求学生学会区别或联系不同的陈述，如定义、判断、例子、有条件的判断和证据等。因此，它要求学生为解决简单的问题，懂得选择使用什么数学方法、数学工具，对不同材料、领域进行联系，对各种信息进行整合。所以，这一能力等级包含了推理或推论、建立模型、提出问题和解决问题、用各种方法表示问题的有关数学技能，要求学生知道编译、解释符号的形式的语言，理解数学语言与惯用语言的关系。对这一等级的评估较难看出测验的题目属于哪类数学课程，也较难判断解决问题时使用哪种方法、策略或计算方法是最好的，所以，将其问题经常设置在某一情境中，并要求学生自行做出决定。因为，事实上，在某些情况下，学生所用的数学课程的类别取决于学生所用的策略，同时，有许多的策略同样适用于同一问题的解决。
（３）能力等级三：数学思维和概括的能力。在这一等级里，要求学生将现实问题数学化，即辨别并提取包含在情境中的数学因素，并运用数学知识解决问题，分析、解释他个人的数学模式，提出有根据的数学观点、论据并予以概括。同时，在问题的情境中反思解决的方法，它包含对模型的分析和对方法的思考，不仅要求学生学会解决问题，而且要求学生学会提出问题。这一等级的能力经常与其它等级的能力相结合，学生必须掌握数学的本质，包括文化、历史的因素、数学的运用，而且学生应能够用口头、书面、直观等各种形式进行充分的交流、互换。因为，学生既应能够向别人传递他们个人的数学观点，也应能够理解别人的数学观点。对这一等级的评估是PISA数学素养的核心部分，也是最难评估的部分，尤其是对于PISA这样的大规模调查。因为多项选择题不适用于这类能力的评估，多种答案的开放式问题则更适用。显然，对开放式问题的设置及评价学生对这类问题的解答，寻求合理的标准答案以使评估有效地量化，是有相当的难度。但是，PISA表示他们将努力设计出覆盖这一等级能力的问题，即使仅是有限的覆盖。因为，这一等级是数学素养构成的关键部分。
PISA对数学素养的评估结构大体由以上这三种能力等级构成一个体系，所有的数学技能都可能在这三大能力等级中发挥作用。一般而言，在三个能力等级中，能力等级三所要求的能力评价任务总体上比能力等级二的难，但是，这并不意味着能力等级二的能力是能力等级三中各项能力的先决条件。事实上，以往的研究表明，第一等级能力的优秀者不一定是第二、第三等级中的优秀者，同时，第三等级的优秀者不一定是第一等级的优秀者。因此，PISA强调学生必须学会解决包括所有等级能力的任务，评价任务也将包括所有的三个等级，以便教育政策的制定者了解到他们的学校和课程在发展每个等级里的能力方面的情况。
２．测验中的分布比例
PISA的评估项目将平均分布在以上列出的九个数学课程因素和五个数学情境中。对于三个等级能力的测试大致为１∶２∶１的比例而分布，以2000年的第一轮数学素养评估为例，当时测评时间６０分钟，基于时间限制，仅选择两个主要数学概念即变化和增长、空间和形状为主要测评内容，两个主要数学概念各有１５个问题和各有２１个分值。其中能力等级一有１２个分值，能力等级二有２０个分值，能力等级三有１０个分值。这里值得注意的是，在2003年的评估中将比第一轮评估更关注能力等级二和能力等级三的测评。
此外，PISA允许学生自由使用他们平常在学校所用的计算器或其它计算工具，否则不利于得出学生成就的真实性评价和评估的公平性。因为，在原则上，允许学生拥有、使用的计算工具的选择多半与各国的教育政策有关。因此，假如当PISA选择不使用计算器时，测评对于那些习惯使用计算器的学生就变得不利，同样地，如果学生不能有效地使用提供的计算器时，这一测评也一样对他们不利。当然，PISA选择的题型要求的计算工具将适应该阶段学生的能力。
３．测验题型
PISA的测评题型主要有多重选择、封闭式建构性回答、开放式建构性回答三类。封闭式建构性题型提出的问题与多重选择题型中的问题很相似，它要求学生回答的答案必须是容易判断正误的。这种题型是评价能力等级一的最佳题型，因为，这种题型不存在学生猜答案的可能性，也不会出现混淆的内容，只有一个正确答案。开放式建构性题型要求学生回答的答案更具开放性，得出答案的过程亦对学生有更高层次知识能力的要求，这类题型不仅要求学生得出答案，而且要求学生列出解决问题采取的步骤或解释答案是如何得出的。在PISA的数学素养测评中，将有２５％～３５％的测试时间用于开放式建构性题型，并要求由专业人员来记分，实行含有专业评价成分的记分等级，这一题型通过要求学生在数学复杂性的一系列层次内提供的解决问题的答案来展示学生的能力。
值得注意的是，PISA测题中使用了在同一刺激物中提出几个问题的格式，它通过一系列逐渐复杂的问题使学生进入情境或问题中，一般而言前面几个问题是以评价能力等级一的相对直接的问题出现，以典型的多重选择或封闭式建构性题型为主，接着过渡到评价能力等级三的更为复杂的问题，以典型的开放式建构性题型为主。这种格式PISA认为能减少学生进入情境中的相关问题的时间，以有效利用测试时间，并减少因使用过多情境可能产生的国家间的偏见。
４．等级的记录
对学生测评的结果进行等级记录PISA认为是必要的，但相比较于其它项目仍作为一个较小的内容未予以确定。目前，可供选择的记录等级方式有：①单一的数学素养等级；②每个主要的数学概念各有一个等级；③每一能力等级各有一个等级，它将在对PISA的实地实验中所收集的数据进行分析的基础上选择其中一个最为合适的记录等级方式。
总之，PISA对数学素养的认识与界定及其建构的评估体系，不同于其它的评估体系，强调相互联系和普遍观点是主要元素，数学是描述形式的语言，采用综合的方式来评价学生所取得的成绩，同时也试图提供一种国家教育系统中有关数学方面的总体指标，寻求学生必须掌握的适应未来社会挑战的数学技能。
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